Reflektioner vid andra mötet i matematikgruppen

Det andra mötet handlade om modulen Algebra i Matematiklyftet, precis som förra gången. Dels var det fokus på att redovisa och reflektera över hur elevernas resonemangsförmåga visat sig i lektion/lektioner vi genomfört sedan förra tillfället, dels ny input genom del 3 om bedömning och att planera ny lektion kring detta.

Målet för mötet: Att genom teori och samarbete med kollegor utveckla medvetenheten om undervisning, bedömning och elevers lärande inom algebra.

Återkoppling från föregående möte: Algebra - varför, vad och hur.

Samtal /delgivning av lektionen  

• Under lektionsobservationerna framkom att vi återkopplade till ett enklare, oftast ett tidigare problem, för att skapa tilltro till förmåga. Vi uppmärksammade eleverna på mönster/talföljder. 
• Vi ställde mestadels öppna frågor som inleds med Vad? Hur? t.ex. ”Vad händer i mönstret från figur till figur?” ”Hur kom du fram till det?” Även Berätta… Visa mig..

Likheter:

• De kritiska aspekterna vi fick syn på var att se och uttrycka vad som skiljer från figur till figur och att uttrycka talföljder med begrepp.
• En annan kritisk aspekt var generalisering t.ex. att genom notering av mönstret i figur 1, 2, 3 respektive hur många stolar som behövs för ett, två, tre bord kunna generalisera till figur/bord 10 eller 100.  
• Det är lätt att ta saker för givet. Jag måste vara tydlig, ställa öppna frågor på vad som händer mellan varje figur men också att de förväntas förklara hur ökningen är.  
• Det fanns elever i alla klasser som visade förmåga på generalisering. 
• De eftertänksamma eleverna lyckades bäst. Detta kunde andra känna igen också.
• Förmågor förutom resonemangsförmåga som eleverna utvecklade var främst begrepps-, metod- och kommunikationsförmågan. 

Skillnader:

• Olika problem: ”En röd och två blå kvadrater” i åk 1, ”Bord och stolar” i åk 2 och 5, ”Stenplattor” i åk 3 och 6
• Olika uttrycksformer: Rita, skriva, matematiska uttryck och tabell
• Olika lektionsstrukturer, även om vissa moment var gemensamma.
• Elevernas resonemangsförmåga framträdde muntligt och/eller skriftligt, dels i helklass, dels i smågrupper/par. Viktigt med det didaktiska kontraktet: gå laget runt, alla ska komma till tals.
• Progressionen, vad gäller innehåll och elevernas förmågor: Exempelvis vad gäller tabeller gick utvecklingen från att läraren hade gemensam genomgång med värdena delvis ifyllda i en tabell i den lägsta årskursen, för att i nästa påvisa tabell i en uppföljning. I tabell blev mönstret tydligare för vissa elever här. I nästa årskurs gjorde eleverna egna tabeller. Eleverna uttryckte att tabeller gjorde det lättare att se mönstret, i jämförelse med en tidigare liknande uppgift utan tabell. 

Film om generalisering

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=NfILf2LNbJQ

    

Del 3 om Bedömning

Vikten av att påvisa skillnader och likheter mellan olika lösningsförslag och resonera kring dem är viktigt. Hur görs det? Genom att visa varandra två och två eller i smågrupper.Vi går runt och kikar så att olika lösningar kommer fram vid ett gemensamt avslut. I halvklass, kan varje grupp visa på tavlan. Det kan visa missuppfattningar, som behöver lyftas. Whiteboardtavlorna ger bra återkoppling till oss, liksom exempelvis "Exit notes" och "minutare" med färger eller bara tummen utifrån frågor.

·      

     Återkoppling i klassrummet används genom att reflektera över och visa på ”Vad har vi lärt oss idag?” Vi bygger nästa lektion på vad man har observerat på tidigare lektion. Våra identifierade missuppfattningar som eleverna visat lyfts på nästa lektion.

·      

        I en formativ bedömningsprocess finns tre viktiga frågor att beakta: Vart ska vi/eleven?    I gruppen uttrycks att summativ bedömning upplevs som viktig för självförtroendet. Att se framstegen i jämförelser ger självtillit. Eleverna växer i att veta målet utifrån nuläget.

     Var är vi/eleven nu? Det görs genom att lyfta deras tidigare erövrade kunskaper och förmågor, men också göra eleverna delaktiga i vad målet är.

     Hur tar vi oss dit? Eleverna ges stöd och uppmuntran till hur de kan nå målet, men också en förväntan på att de utvecklar ansvar och självförtroende genom att få inflytande till hur de kan nå målet.

Planering av nästa lektionsuppgift med intervju

·      Åk 1-3: Uppgift med att fortsätta en aritmetisk talföljd: 2, 4, 6, 8  __, __, __ och uppgift med geometrisk talföljd: 1, 2, 4, __, _­­_, __ och att förklara dem. Fortsätta en mer öppen talföljd 1, 4 __, __, __.  

     Vi tror att det kritiska för eleverna i åk 1-3 är att uttrycka en talföljd och att förklara öppen talföljd. Vår strategi är att uppmärksamma eleverna på aritmetiska och geometriska talföljder samt varierad differens innan, t.ex. Fibonaccis.

·       Åk 5-6: Hur fortsätter mönstret med plattorna? Förklara varför!                               Det som vi tror kan vara svårt nästa lektion är begrepp och att uttrycka en generalisering. Förhoppningsvis utvecklas detta genom att låta dem försöka på egen hand, diskutera i smågrupper och i helgrupp.

Enskild reflektion och gemensam sammanfattning av dagen

·      Utifrån dagens mål uttrycktes det som lärorikt att lyssna på andra. Vi ser många likheter, men också skillnader. Genom att ta del av och referera till teori och lyssna till varandras praktiska erfarenheter ser vi progressionen. Filmen om generalisering var tydlig och bra. 

Val av del till nästa gång – Kommunikation i algebra-klassrummet

·      Sammanställning av några intervjuer utifrån uppgifterna tas med till nästa gång samt att ha läst texten i del 7, Kommunikation i algebra-klassrummet.

·      För att utveckla läsförståelsen inom matematik delgav några lärare "Läsfixarna i matte" som kopierades ut till alla paralleller, för att lamineras och sättas upp i klassrummen. 

Bedömning i matematikklassrummet

Hodgens och Wiliams fem nyckelstrategier, som jag tidigare skrivit om, beskrivs mycket bra i Matematiklyftets modul i Algebra del 3. Dessa nyckelstrategier i formativ bedömning, som gäller i alla ämnen, har blivit en ledstjärna för mig.

De tre frågorna i den formativa bedömningsprocessen: "Vart ska vi/eleven?" "Var är vi/eleven nu?" "Hur tar vi oss dit?" vävs in i de fem nyckelstrategierna. Här ges också konkreta exempel på hur jag kan gå tillväga. 

1. Klargör och delge mål och kriterier. "Vart ska vi?" 

Här är det viktigt att jag konkretiserar och visar på skillnader i kvalitet genom olika exempel/elevarbeten. Om eleverna görs delaktiga i diskussioner om exemplen ökar elevernas medvetenhet för vad som krävs för ett framgångsrikt lärande.

2. Skapa effektiva klassrumsdiskussioner och andra lärandesituationer som ger belägg för elevernas kunnande. "Var är vi nu? 

I detta nuläge behöver jag kartlägga var eleverna befinner sig i förhållande till målet. Det ställer krav på att jag ger eleverna möjligheter att visa sina kunskaper. Frågor som kan ställas ska:

• vara färre men genomtänkta och öppna. 
• möjliggöra olika elevsvar 
• bestå av utvecklande följdfrågor som formuleras i förväg

När jag använder öppna frågor ges eleverna möjlighet att göra längre inlägg samt lyssna till och jämföra olika resonemang. Jag behöver synliggöra kritiska aspekter i innehållet. Denna informella bedömning ger mig information som är viktig för planering av nästa steg. Beroende på hur jag vill att det ska dokumenteras väljer jag metod. 

Små whiteboardtavlor ger mig bra information om jag har tänkt till vad det är jag vill veta. 

Ett annat bra sätt är att visa ett konkret exempel där eleverna ska ta ställning till fyra alternativ och argumentera för sin uppfattning, t.ex. 

Vilket eller vilka av följande uttryck är inte en likhet?

A. 8 - 5 = 5 - 2

B. 30 - 10 = 0 + 20

C. 20 + 7 = 27 - 1

D. 8 = 10 - 2

3. Ge eleverna effektiv återkoppling som för dem framåt i lärandet. "Hur tar vi oss dit?"

Vad menas då med effektiv återkoppling? Den behöver förstås och kunna användas av eleven och den ska ha fokus på som är nästa steg/mål. Ett annat kriterium är att den ska utmana elevernas tänkande då de behöver vara aktiva och ta ansvar för sitt lärande. 

Ett exempel på en god återkoppling är att uppmana eleven att själv hitta exempelvis de tre uppgifterna som är fel, utan att markera dem och försöka klura ut de rätta svaren. 

Hattie och Timperley gör skillnad mellan feedback, feed-up och feed forward. Feedback är bedömning av vad eleverna gjort eller visat. Feed-up står i relation till aktuella kunskapskrav/mål. Feed forward är framåtsyftande och fokuserar på hur eleven ska arbeta vidare. 

4. Aktivera eleverna som resurs för varandra. 

Denna punkt hänger ihop med punkt 2, där det gäller att jag som lärare skapar ett klimat där eleverna är delaktiga. 

Ett sätt är att eleverna får välja ut några uppgifter ur läroboken och motivera varför en uppgift är lätt respektive svår. Eftersom eleverna säkerligen upplever olika svårighetsgrad i uppgifterna, är det en god idé att de i grupper får presentera och argumentera sina val. 

Då kan jag som lärare sedan ställa frågan: Tänk efter i gruppen: Vad har ni för frågor? Skriv ned frågorna! Eleverna tar hjälp av varandra och ingen elev behöver då visa sin okunskap inför klassen.

5. Gör eleverna aktiva som ägare av sitt eget lärande. 

Det framhävs att självreflektion och självbedömningar företrädesvis görs under arbetsprocessen istället för i slutet på processen. Då ges eleverna möjlighet att reflektera över vad de känner sig osäkra på och vilket stöd som behövs.             

Ett exempel är att i början av ett valt innehåll låta eleverna beskriva ett centralt begrepp inom innehållet som de sedan arbetar med. Eleverna gör samma sak efter avslutat arbete och de ges även tid för reflektion över förändringen i sitt eget kunnande.

Vetenskapligt förhållningssätt - vad innebär det?

Ett vetenskapligt förhållningssätt innebär att inta en hållning där jag ställer mig frågan: Vad finns det för belägg utifrån vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet? 

Förskolans och skolans arbete ska, enligt skollagens femte paragraf, vila på "vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet". Vad innebär då dessa begrepp? Enligt Skolverket innebär "vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet" att undervisningen är forskningsbaserad - det ska finnas stöd i forskningen för de metoder skolan använder och de kunskaper som skolan lär ut. 

Begreppet "vetenskaplig grund"  innebär att systematiskt utforska, ifrågasätta och problematisera. Att använda nya forskningsrön och kritiskt granska, pröva och sätta enskilda faktakunskaper i ett sammanhang och att de metoder man använder grundas på tillförlitlig kunskap. Kunskap kan vara dels empirisk, då man samlar information systematiskt dels kan kunskap vara teoretiskt grundad. Det som också utmärker vetenskaplig kunskap är att den bygger på tidigare kunnande inom området, är kritiskt granskad utifrån etiska principer och att den finns tillgänglig för alla. 

Beprövad erfarenhet är något mer än lärarens ”tysta” kunskap. Enligt Skolverkets definition på "beprövad erfarenhet" innebär det att lärare stödjer sig på erfarenheter som är systematiskt prövade, dokumenterade och skapade av många under en längre tidsperiod. Det räcker alltså inte med en metod som du och/eller ditt arbetslag tycker fungerar, för att den ska ses som en beprövad erfarenhet. Enligt Skolverket krävs en större spridning än i egna kommunen. Professor Tomas Kroksmark menar att det räcker med att den beprövade erfarenheten är spridd inom en skola. Jag är benägen att hålla med Kroksmarks resonemang om att det viktigaste är att man har varit systematisk och dokumenterat och intagit ett kritiskt förhållningssätt, som liknar vetenskapens kärna att systematiskt ifrågasätta och problematisera i processen. I denna kritiska process är den didaktiska triangeln med de didaktiska frågorna grundläggande, dels i kommunikation med eleverna, dels i kommunikation med mig själv och mina kollegor: 

VAD, VARFÖR och HUR? 
Vad är det inom detta innehåll som eleverna kan ha missuppfattningar i? 
Vilka kritiska aspekter i innehållet behöver jag uppmärksamma eleverna på? 
Varför väljer jag detta innehåll och hur ska jag uppmärksamma de kritiska aspekterna? Hur? Varför organiserar jag på det sätt som jag gör? 
Vilka belägg har jag för att mitt sätt att undervisa leder till att elevers lärande är framgångsrikt och gör skillnad? 

På nedanstående länk kan du se filmer och läsa mer om dessa begrepp: http://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/forskningsbaserat-arbetssatt

Fem grundläggande principer för lärande

Dylan Wiliam, aktuell i Lärartidningen, har tillsammans med Jeremy Hodgen skrivit ett lättläst och mycket bra häfte: "Mathematics inside the black box - Assessment for learning in the mathematics classroom". Häftet bör finnas ute på skolorna, då det för några år sedan delades ut till alla matematikutvecklare. Det ger gott stöd för lärare i formativ bedömning inom alla ämnen. 

Hodgen och Wiliam menar att tre typer av feedback är nödvändig för formativ bedömning. Den första är från elev till lärare, den andra från lärare till elev och den tredje är från elev till elev. Fem principer är grunden:

1. Första principen för lärande är att börja där eleven befinner sig och låta dem koppla nya kunskaper till sina tidigare. Läraren lyssnar till svaren och hjälper dem genom att lyfta diskussionen till en högre nivå.
2. Eleverna själva måste vara aktiva i processen. Lärandet måste göras av dem. 
3. Eleverna ges tillfällen att samtala om sina uppfattningar i matematik, så att de bygger upp de matematiska begreppen. 
4. Eleverna måste förstå syftet med det som ska läras. Läraren måste tydligt förklara det centrala innehållet och kunskapskraven, så eleverna får möjlighet att avgöra kvaliteten på sitt arbete. Kamrat-och självbedömning är nödvändig i denna process.
5. Feedback ska visa elever hur man kan förbättra sig. Sådan feedback uppmuntrar elever att prestera bättre genom att göra flera försök och att lära av sina fel och misstag.

Med anledning av att Diamantdiagnoserna är genomförda och ska analyseras är det av största vikt vad man gör av nulägesresultatet. Forskningen visar på betydelsen av hur lärare tänker kring sin undervisning och tanken med Diamant är att man ska använda det formativt. I ett Learning Study perspektiv kan nulägesresultaten jämföras med ett förtest i en Learning Study. Utifrån analysen av nulägesresultatet planeras insatser i undervisningen, såväl på gruppnivå som individnivå, för att nå målet till våren. Vikten av att tydliggöra syfte och mål och engagera eleverna i hur målen kan uppnås är samstämmigt i forskarvärlden. Nalle Puh är klok som uttrycker:

Vad är målet/målen?

Hur ska undervisningen planeras och organiseras så att elevers förmågor utvecklas?     

Vad är det i innehållet, som eleverna har svårt med?                                                   

Hur uppmärksammar jag eleverna det på bästa sätt?                                                      

Vilka strategier har eleverna? Är de hållbara och kan generaliseras?

Hur engagerar jag eleverna, så att de blir ägare i sitt lärande?     

Insatserna utvärderas kontinuerligt och granskas kritiskt för att revideras, så att största möjliga utfall sker. Detta kan jämföras med Learning Study där lektion efter lektion kritiskt granskas och revideras, för att uppnå optimal koppling mellan undervisning - lärande. För visst ska vi arbeta enligt skollagen, som uttrycker att "undervisningen ska baseras på vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet"?                              

Kollegialt lärande - Samtalsgrupper på Ulrikaskolan

Uppföljning av Matematiklyftet sker i algebramodulen i blandad lärargrupp, från förskoleklass till åk 6. Detta är ett av de val som lärare på Ulrikaskolan har gjort, för att vid tre tillfällen samlas för ett kollegialt lärande. De övriga samtalsgrupperna, där alla följer samma struktur enligt Helen Timperleys modell, är fokuserade på undervisning i läsning, skrivande, NO och SO. Upplägget gör att vi utvecklar kunskaper om "Röda tråden" inom ämnet.

I algebramodulen, som Högskolan i Jönköping, Linnéuniversitet i Växjö samt Blekinge tekniska Högskola har utarbetat, möter vi begrepp från variationsteorin och Learning study. Vi lär oss exempelvis om kritiska aspekter och variationsmönster. Första gången var fokus på vad algebra är och varför vi behöver den samt hur vi undervisar för att utveckla elevernas resonemangsförmåga.  

Algebra betyder generalisering och utökning av aritmetiken. Det handlar om relationer, mönster och samband. Det vanliga men något missvisande uppfattningen att algebra är samma som bokstavsräkning, kände vi alla igen.

Algebra behövs för att det i samhället ställs ökade krav på matematisk förmåga, det krävs symbolisering i den digitala teknikens framfart, den är viktig för likvärdighetens skull, för högre utbildning och att algebra behövs för att lösa problem. 

Enligt det centrala innehållet i Lgr 11 ska vi i årskurs 1-3 arbeta med:

• Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse 
• Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. 

I årskurs 4-6 ska vi enligt det Centrala innehållet arbeta med:

• Obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol.
• Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven.
• Metoder för enkel ekvationslösning
• Hur mönster i talföljder och geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. 

Till nästa gång ska vi ha genomfört en lektion om "Stenplattor", som finns i olika varianter. Här nedan är en variant. Det blir spännande att höra om alla lärares erfarenheter om hur eleverna visar sina förmågor med olika uttrycksformer och om de lyckas generalisera! 

Del 3 med fokus på bedömning blir ny input till nästa möte. Du som vill veta mer om Algebramodulen kan se på följande filmer.

Film om Algebramodulen 
https://www.youtube.com/watch?v=DYaIsx7WnLY

Film från en lektion om mönster som visar vikten av att undervisningen leder till generalisering https://www.youtube.com/watch?v=NfILf2LNbJQ

Kollegiala möten på "Lärandets dag"

Utöver en lättlyssnad, humoristisk föreläsning och utdelning av lärandepriser, där det var glädjande med kollegor som pristagare, bjöd "Lärandets dag" på intressanta kollegiala möten. 

Tack, alla ni som visade stort intresse på Andreas, Carinas och mina föreläsningar om "Elevers och lärares lärande genom Learning Study och auskultation"! 

Det var roligt att ni ställde nyfikna frågor. Önskemål om att lägga ut presentationen och lektionsplaneringar i likhetstecknets betydelse samt för- och eftertest framfördes, men eftersom jag inte kan bifoga filer här på bloggen kan de inte läggas ut i nuläget. Jag får be om hjälp och återkomma om hur ni kan få tillgång till detta, för "delad glädje är dubbel glädje".
Nedan följer i alla fall litteratur- och länktips för dig som vill inspireras och veta mera.

Litteratur:

Holmqvist, M. (red.) ”Lärande i skolan – learning study som skolutvecklingsmodell”, Studentlitteratur

Maunula, Magnusson och Echevarria ”Learning study – undervisning gör skillnad”, Studentlitteratur

Holmqvist Olander, M. (red.) ”Learning study i förskolan”, Studentlitteratur
Enoksson, M. ”Innehåll i behov av särskilt stöd – erfarenheter från lesson/learning studies i matematik” 
Stockholms universitet, PRIM-gruppen Matematikdidaktiska texter del 5

Pettersson, A. m. fl. ”Bedömning av kunskap – för lärande och undervisning i matematik” 
Stockholms universitet, PRIM-gruppen Matematikdidaktiska texter del 4  

Hodgen & Wiliam, ”Mathematics inside the black box – bedömning för lärande i matematikklassrummet” Stockholms universitets förlag

Länkar:

www.learningstudy.se

http://ls.idpp.gu.se/

http://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/amnen-omraden/matematik/undervisning/learning-studies-1.117044

http://www.skolverket.se/om-skolverket/publikationer/visa-enskild-publikation?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FRecord%3Fk%3D2723

https://www.abo.fi/student/media/24148/nordyrkmagasinvolume12011lindgren.pdf

Inspirationskällor för 2015-2016

Nytt läsår med lust att komma med nya utmaningar till eleverna!

Matematiklyftet

Den statsbidragsbaserade  kompetensutvecklingen, som alla grundskolor samt gymnasiet i kommunen nu genomfört innefattade bara två moduler. Det finns alltså massor av bra material inom de övriga matematiska områdena. Fantastiskt enkelt och bra utan krav på inloggning. En guldgruva!
Dessutom lite nytt för 2015-2016:

- Språk i matematik, åk 1-3, 4-6, 7-9 och gymnasiet
- Matematikundervisning med IKT, åk 1-3, 4-6 och gymnasiet

https://matematiklyftet.skolverket.se/matematik/faces/start?_afrLoop=10304905078923084&_afrWindowMode=0&_adf.ctrl-state=zcsr9vwv2_105

NCM

Nationellt centrum för matematik som ingår i Göteborgs universitet har mycket att erbjuda för alla skolverksamheter. Dels intressanta artiklar för egen del, dels mycket material att använda med eleverna.

För förskola och förskoleklass finns:

• praktiknära exempel på arbete med matematik i förskola/förskoleklass
• stöd för samarbetet mellan förskola/förskoleklass och hemmen
• information om aktuell matematikdidaktisk litteratur och Nämnarenartiklar.

För grundskolan och gymnasiet finns: 

• "Strävorna" dels som inspiration och stöd för undervisningen och dels som kompetensutveckling.
• "Månadens problem" med tre problem av olika svårighetsgrad för olika åldrar är också något att inspireras av. 
• "Uppslaget" i Nämnaren består alltid av en praktisk lektionsidé med aktiviteter att använda i undervisningen. 
• "Kängurun" med avsikt att stimulera intresset för matematik genom bra problem för alla åldrar, från förskoleklass ända upp till sista kursen på gymnasiet. En problembank bestående av tidigare års problem med lösningar och kommentarer för undervisningen finns att ladda ner.

"Familjematematik – Hemmet och skolan i samverkan" ger exempel på hur samverkan kan genomföras. 

http://ncm.gu.se/

Lycka till!