Språket i matematiken

Med tanke på att en ny termin närmar sig och matematikundervisningen ska planeras bör vi reflektera över:                                                             
- Ges eleverna möjligheter att utveckla och använda informella ord, formella ord och symboler i tillräcklig omfattning?
 

I Matematiklyftet finns de relativt nytillkomna modulerna "IKT i matematikundervisningen" och "Språket i matematiken". Jag har utforskat lite i "Språket i matematiken", som syftar till att utveckla undervisningen i matematik, genom ett medvetet arbete med språkutveckling. Språket och begreppen är en väsentlig del av matematiken.                                   

Här ges några tips på hur vi kan arbeta mer språkutvecklande.

Planering av undervisning bör utgå tre grundprinciper för ett språkutvecklande arbetssätt.

1 handlar om att göra ämnesinnehållet begripligt genom att sätta det i ett sammanhang. 

2 handlar om att främja aktiv språkanvändning muntligt och skriftligt. 

3 handlar om att stötta elevernas förståelse.

Signalord

Ord som mer, längre, vinner, tyngre, ökar och tjänar förknippar elever ofta med addition, medan ord som yngre, kortare, billigare och lättare förknippas med subtraktion. 

Elever som hastigt läser igenom uppgiften för att snabbt komma igång med att räkna överanvänder ofta strategin att leta efter signalord i texten. 

Följande exempel, som är lite luriga, ger läraren information om elevens förmåga i analys av språket. De är också utmärkta exempel att gemensamt diskutera i klassen.

Ali spelar kula och vinner 12 kulor. Han har då 30 kulor. Hur många kulor hade han från början?

Louise är 9 år. Hon är 5 år yngre än Kim. Hur gammal är Kim?

Ett dataspel kostar 40 kronor mer i affär A än i affär B. Hur mycket kostar dataspelet i affär B om det kostar 570 kronor i affär A?

Att utgå från ett algebraiskt uttryck

Ett annat sätt att arbeta enligt de tre grundprinciperna för språkutvecklande arbetssätt i matematik är att eleverna utgår från ett algebraiskt uttryck och beskriver detta med hjälp av informella och formella ord. 

Eleverna kan arbeta tillsammans eller enskilt, muntligt eller skriftligt beroende på hur du som lärare tänker dig att deras matematiska tankesätt och kommunikation utvecklas bäst.

Exempel för år 1-3: 2 + o = 5 + 3

Exempel för år 4-6: 2x

Exempel för år 7-9: 4x + 3(x - 7)

Att utgå från en situation

Eleverna kan också utgå från en situation och beskriva denna med hjälp av informella, formella ord och symboler.

Exempel år 1-3: Lisa har några kulor. Hon får tre kulor till av Ali. Hur många kulor har Lisa nu? 

Exempel år 4-6: Alvin får 10 kronor av morfar varje gång han hjälper morfar att diska. Hur mycket har Alvin fått när han har hjälpt morfar 5, 10 respektive 15 gånger? 

Exempel år 7-9: Leila samlar på frimärken. Hon har två album fulla med lika många frimärken och dessutom 13 lösa frimärken. Sammanlagt har hon 133 frimärken. Hur många frimärken har hon i varje album?

Att arbeta språkutvecklande inom geometri

Det kan exempelvis vara att arbeta två och två, där den ena eleven ska rita en geometrisk figur, efter anvisningar från kamraten. Eleven som ritar figuren känner inte i förväg till hur figuren ser ut och den elev som ger anvisningar får inte se vad kamraten ritar. 

Tanketavlan är ett bra verktyg

En favorit i syfte att arbeta språkutvecklande och förståelse för samband, som jag vill tipsa om är "Tanketavlan". Eleverna ska då översätta och välja olika representationer i en Tanketavla, som ger stöd för eleven och ger mig som lärare en bild av hur eleven förstår sambanden mellan olika representationer. Se länk nedan:

http://ncm.gu.se/media/ncm/matematiklyftet/TH06A_mcintosh_tanketavla.pdf

 

Eftertanke och framtidstankar kring ett formativt förhållningssätt

Efter intensiva dagar med julfirande ges nu tid för eftertanke och framtidstankar kring ett formativt förhållningssätt i undervisningen. Här nedan delger jag många av Hodgens och Wiliams förslag, på hur man arbetar formativt i syfte att utveckla elevers lärande. Jag tror och hoppas att de konkreta förslagen ger inspiration. 

Enligt Hodgen och Wiliam, internationellt erkända forskare, är tre typer av feedback nödvändig för formativ bedömning. Den första är från elev till lärare, den andra från lärare till elev och den tredje är mellan elever. De uttrycker även fem grundläggande principer för lärande: 

1. Att börja där eleven befinner sig och koppla nya kunskaper till sina tidigare. Vidare bör läraren hjälpa eleverna att utveckla sina svar och lyfta diskussionen till en högre nivå.
2. Att eleverna måste själva vara aktiva i processen.
3. Att elever måste samtala om sina uppfattningar i matematik.
4. Att eleverna måste förstå syftet med det som ska läras. Endast om eleverna kan få möjlighet att överblicka och styra sitt eget lärande i rätt riktning kan de själva ta ansvar. Det krävs att läraren förklarar det centrala innehållet och kunskapskraven där eleverna genom olika exempel får insikt i vad kunskapskraven innebär rent konkret. Kamrat- och självbedömning är i denna process nödvändig.
5. Att feedback alltid ska visa elever på vad och hur de kan förbättra sig. (131 vetenskapliga studier visar att feedback med enbart antal rätt, betyg eller rangordning där fokus blir på den enskilda personen faktiskt sänkte prestationerna).

 Vad innebär ett formativt förhållningssätt i matematikundervisningen?     

Utmanande aktiviteter som främjar tänkande och diskussion

Det kan innebära att man presenterar ett uppenbart svar som på något sätt är felaktigt.
Det kan också vara ett problem som har fler/färre än ett korrekt svar. Exempelvis:Vilket bråk uttrycker denna bild?                         

    

Ytterligare alternativ är exempel där det gäller att ta ställning till påståenden och argumentera varför, t.ex. uppgift med på olika kvaliteter i svaren att diskutera.                                                                                                                                       

Lisa har 13 kulor sammanlagt, både svarta och vita. Hon har 7 vita som ligger i handen. Hur många svarta har hon gömda i påsen?     

    a)      6 + 7 = 13   Svar: 6
    b)      13 - __ = 7, 13 - 6 = 7, 13 - 7 = 6 och 6 + 7 =13     Svar: 6 svarta kulor
    c)       13 - 7 = 7
    d)      13 - 7 = 6    Svar: 6 kulor
     

Utveckla matematiska strukturer genom att identifiera likheter och skillnader

Slutna frågor kan ibland vara värdefulla och ger läraren feedback på undervisningen.T.ex. ”Är alla kvadrater rektanglar?” Eleverna kan skriva på sina miniwhiteboards och visa upp. Om alla svarar rätt, fortsätter läraren lektionen, annars behöver definitionerna repeteras.

Misstag är oftast bättre för lärandet än korrekta svar!                                       

Misstag och fel uppkommer automatiskt i lärandet. Elevers misstag är ovärderliga för undervisning och lärande förutsatt ett klassrumsklimat där misstagen analyseras.  

    
Att använda läroböcker på ett reflekterande sätt              

Be eleverna parvis välja ut två uppgifter som var svåra och två som var lätta.       

     - Vad finns det för likhet/skillnad mellan lätta och svåra uppgifter?                           

     - Hur kan du göra denna uppgift svårare?                                                              

     - Vilket råd skulle du ge om hur man löser ett svårt problem? 

Att använda summativa prov formativt 

Här analyseras proven för att se vilken uppgift som orsakade störst problem. Sedan konstruerar läraren likartade uppgifter. På provuppgifter som bara några svarat fel får eleverna hitta någon som har svarat rätt och be den förklara.                  

Använd ett prov när du har kommit halvvägs i ett arbetsområde för att se vilka delområden eleverna har svårighet med.

Eleverna får ett prov som de parvis ska göra svårare. 

  
Att utveckla utmanande aktiviteter 
Följande frågor bör lärare ställa sig:                                                                                            

       -    På vilket sätt gynnar denna aktivitet lärandet och det matematiska samtalet?

      -  Vilka möjligheter finns det för lärare och elever att få inblick i elevernas lärande?

      -  Hur görs det möjligt för lärare och elever att förstå vad eleven behöver härnäst?

Uppmuntra elevsamtal genom att ställa frågor och lyssna

Uppmaningar och öppna frågor som inleds med Vad, Hur, Varför. Exempelvis Berätta för mig om problemet! Vad vet du om problemet? Hur kan du beskriva det för någon annan?

Strategier som stöttar alla elever att delta i diskussioner

Här är fokus på ställa frågor som kräver längre svar, där fler elever deltar och ger kommentarer.

Uppmuntra elever att anteckna och använda anteckningarna som stöd.                                                                                

En ”inte-räcka-upp-handen-strategi” främjar alla elevers delaktighet och engagemang.

Gruppdiskussioner mellan elever

Be elever diskutera begrepp parvis. Ett annat sätt är att be eleverna återge sina kamraters idéer och genom detta uppmuntra lyssnandet.

Använd tvärgruppsredovisning: Då blir varje elev expert på ett speciellt problem.

Djupa och öppna helklassdiskussioner

Skriv upp alla förslag på tavlan. Be eleverna att parvis hitta ett förslag som de inte håller med om eller som de inte förstår. Därefter får eleverna be om ett förtydligande vid klassrumsdiskussionen.

Oberoende om svaret är rätt eller fel, be eleverna försvara sina egna förslag. Hur vet du.?

Träna på olika förhållningssätt för att inte visa elever om ett svar är rätt eller fel genom kroppsspråk, ansiktsuttryck eller kommentarer. Ett sätt är att avsiktligt göra ett misstag.

Utifrån Hodgen och Wiliam, internationellt erkända forskare, bör man utveckla någon/några aspekter i taget. Mitt nyårslöfte är att utveckla mina frågeställningar. Jag vill också i större omfattning konstruera och använda rika problem som har fler än ett korrekt svar, för att utveckla elevers förmågor. 

Ursäkta layouten - marginalerna lever sitt eget liv och förändras när inlägget läggs ut. Ytterligare ett nyårsmål bör det alltså bli :)  

Gott Nytt År!

Höstens sista kollegiala samtal om Algebra

Minns i november den ljuva september.... Då var samtalsgruppens första möte och nu var det redan dags för sista mötet. Gruppen har samlats tre tillfällen där vi utgått från Matematiklyftets modul om Algebra. Där har vi fokuserat på delarna om resonemang, bedömning och kommunikation. I en grupp på sex lärare som undervisar i olika årskurser var vi rörande överens om värdet av att träffas och se den "Röda tråden". Dessutom har vi erövrat nya kunskaper inom algebran och dess betydelse.  

Mål: Att kollegiala möten genom teori och praktik utveckla den didaktiska kompetensen och bedömningsförmågan inom algebra.

Redovisning av och reflektioner över lektionsuppgifter

Vid intervjuer av elever användes öppna frågor och uppmaningar som ”Berätta”…, ”Förklara”… Ledtrådar gavs till de yngsta eleverna p.g.a. brist av erfarenheter, för att de skulle komma vidare.

I årskurs 1-3 var de aritmetiska talföljderna ingen utmaning, utan det var först på geometriska talföljderna som de kritiska aspekterna synliggjordes. Att fortsätta den geometriska talföljden 1, 2, 4, samt beskriva ökningen visade eleverna skiftande förmåga i. Eleverna visade några olika kreativa lösningar i att fortsätta talföljder. Glädjande var också att de över förväntan, kunde förklara dem. 

Sammanfattningsvis såg vi en tydlig progression i att använda matematiska begrepp, men också i resonemangsförmåga. Svårigheten för oss var att bedöma utifrån tre kvalitativa nivåerna som fanns i ett protokoll. Var går gränserna från en nivå till an annan?

I årskurs 5 kändes det angeläget att ta upp likhetstecknets innebörd. Inspiration väcktes genom läsning av texterna i del 7, där det fanns goda exempel. Med exempel på kritiska aspekter, variationsmönster och kontrastering uppmärksammades eleverna på innebörden. Eleverna utvecklade en ökad insikt om likhetstecknet.

I årskurs 6 har Nationella Prov varit i fokus med en muntlig uppgift i statistik och samband och förändring. Liggande stapeldiagram och cirkeldiagram skulle tolkas och kommuniceras i grupper om fyra. Eleverna tyckte uppgifterna var kluriga men roliga. För läraren var det stressigt att hinna notera. 

Sammanfattningsvis är det viktigt att eleverna får utmaningar. Vi kopplar det till forskning, bl.a. Vygotskys proximala zon! Om elever får arbeta med uppgifter som de redan kan, blir det tråkigt.

Samtal om texterna i del 7 om kommunikation

Vi som har läst variationsteori och genomfört Learning Study, kände igen oss i texterna i del 7, som handlade om likhetstecknets betydelse. Där framhålls att man redan i årskurs 1-3 bör föra in symboler för obekanta tal, som t.ex. X och inte bara ha en tom ruta eller ett streck i öppna utsagor. Vi har enbart positiva erfarenheter, då det väcker elevernas intresse för det är lite spännande. Det enda läromedlet som har X är Prima, vad vi vet. 

Någon som känner till något annat läromedel?                                        

I många fall ligger alltså ansvaret hos läraren att introducera X.

Vårt mål ar att ge elever möjlighet att förstå det algebraiska innehållet i syfte att utveckla förmåga att följa och föra matematiska resonemang, genom att ta vara på det okända och föra in X i t.ex. alla slags tabeller, area, omkrets i figurer och genom problemlösning.

Filmen ”Olika sätt att se på mönster” gav följande reflektioner

• Läraren hade en lång genomgång med ett innehåll, där det gavs möjlighet att föra och följa resonemang.
• Det var imponerande med så aktiva elever som visade på en mångfald olika sätt att notera och beskriva mönster. 
• Lärarens betydelse är stor, så vi tror att elevernas intresse och delaktighet påverkades av lärarens positiva och nyfikna hållning, där hon efterlyste så många olika sätt som möjligt.
• Hon synliggjorde också för eleverna att mönstret var detsamma oavsett om det var vågrätt eller lodrätt och ritade upp en enkel tabell som tydliggjorde.
• Materialet i form av magnetiska cirklar på en stor whiteboard var bra.  

Reflektioner över lärandet

VAD?

• Genom att läsa texterna blir man påmind om att ta in algebra i det vi håller på med.
• I algebramodulen har vi lärt oss att använda tabeller för att synliggöra mönster.
• Fått insikt om betydelsen av att arbeta med algebra redan i de yngre åren
• Likhetstecknets betydelse kändes igen. Att vidareutveckla elevernas algebraiska förmåga genom att introducera X istället för streck och tomma rutor blev bekräftat.
• Likhetstecknet behöver uppmärksammas då och då. Det är så lätt att ta för givet att de kan.  
• Ge eleverna tid att öva på X i alla möjliga situationer som t.ex. bråk, tabeller m.m.
• Genomgångar får ta tid, viktigt att elever ges möjlighet att muntligt beskriva och förklara.
• Hur ser vi på fel och missuppfattningar som framkommer? Är det känsligt eller en källa till nya lärdomar?
• Hur skapas ett klassrumsklimat där eleverna vågar göra fel och som tas som en utgångspunkt för lärande?
• Vad och hur gör vi för att ge de högpresterande tillräckligt med stimulans?

HUR?

Sätten vi lärt oss på är genom att läsa, planera, genomföra lektioner/intervjuer, göra analyser, samtala och lyssna på varandras lektionserfarenheter och tankar.

Utvärdering

Det har varit lärorikt att ta del av varandras erfarenheter och tankar. Det hade varit önskvärt med fler tillfällen. Samtidigt har det varit tufft att hinna med parallellt med ESIF-projektet. Vi känner dock ett behov av kompetensutveckling inom ämnena. 

Den röda tråden som framkommer är viktig. Att veta både framåt och bakåt vad som sker i undervisningen är betydelsefull.

Varför är det viktigt det jag gör nu? 
Vad ska det leda till? 

Hur tar jag reda på elevernas historia vad gäller förmågor i en stadieövergång?

De övriga modulerna Samband och förändring, Geometri, Sannolikhet och statistik samt Språket i matematiken skulle också behövas gå igenom. En plan, där man betar av en viss del av innehållet i varje modul är det förslag som framkommer. 

                                                                                                                     

Reflektioner vid andra mötet i matematikgruppen

Det andra mötet handlade om modulen Algebra i Matematiklyftet, precis som förra gången. Dels var det fokus på att redovisa och reflektera över hur elevernas resonemangsförmåga visat sig i lektion/lektioner vi genomfört sedan förra tillfället, dels ny input genom del 3 om bedömning och att planera ny lektion kring detta.

Målet för mötet: Att genom teori och samarbete med kollegor utveckla medvetenheten om undervisning, bedömning och elevers lärande inom algebra.

Återkoppling från föregående möte: Algebra - varför, vad och hur.

Samtal /delgivning av lektionen  

• Under lektionsobservationerna framkom att vi återkopplade till ett enklare, oftast ett tidigare problem, för att skapa tilltro till förmåga. Vi uppmärksammade eleverna på mönster/talföljder. 
• Vi ställde mestadels öppna frågor som inleds med Vad? Hur? t.ex. ”Vad händer i mönstret från figur till figur?” ”Hur kom du fram till det?” Även Berätta… Visa mig..

Likheter:

• De kritiska aspekterna vi fick syn på var att se och uttrycka vad som skiljer från figur till figur och att uttrycka talföljder med begrepp.
• En annan kritisk aspekt var generalisering t.ex. att genom notering av mönstret i figur 1, 2, 3 respektive hur många stolar som behövs för ett, två, tre bord kunna generalisera till figur/bord 10 eller 100.  
• Det är lätt att ta saker för givet. Jag måste vara tydlig, ställa öppna frågor på vad som händer mellan varje figur men också att de förväntas förklara hur ökningen är.  
• Det fanns elever i alla klasser som visade förmåga på generalisering. 
• De eftertänksamma eleverna lyckades bäst. Detta kunde andra känna igen också.
• Förmågor förutom resonemangsförmåga som eleverna utvecklade var främst begrepps-, metod- och kommunikationsförmågan. 

Skillnader:

• Olika problem: ”En röd och två blå kvadrater” i åk 1, ”Bord och stolar” i åk 2 och 5, ”Stenplattor” i åk 3 och 6
• Olika uttrycksformer: Rita, skriva, matematiska uttryck och tabell
• Olika lektionsstrukturer, även om vissa moment var gemensamma.
• Elevernas resonemangsförmåga framträdde muntligt och/eller skriftligt, dels i helklass, dels i smågrupper/par. Viktigt med det didaktiska kontraktet: gå laget runt, alla ska komma till tals.
• Progressionen, vad gäller innehåll och elevernas förmågor: Exempelvis vad gäller tabeller gick utvecklingen från att läraren hade gemensam genomgång med värdena delvis ifyllda i en tabell i den lägsta årskursen, för att i nästa påvisa tabell i en uppföljning. I tabell blev mönstret tydligare för vissa elever här. I nästa årskurs gjorde eleverna egna tabeller. Eleverna uttryckte att tabeller gjorde det lättare att se mönstret, i jämförelse med en tidigare liknande uppgift utan tabell. 

Film om generalisering

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=NfILf2LNbJQ

    

Del 3 om Bedömning

Vikten av att påvisa skillnader och likheter mellan olika lösningsförslag och resonera kring dem är viktigt. Hur görs det? Genom att visa varandra två och två eller i smågrupper.Vi går runt och kikar så att olika lösningar kommer fram vid ett gemensamt avslut. I halvklass, kan varje grupp visa på tavlan. Det kan visa missuppfattningar, som behöver lyftas. Whiteboardtavlorna ger bra återkoppling till oss, liksom exempelvis "Exit notes" och "minutare" med färger eller bara tummen utifrån frågor.

·      

     Återkoppling i klassrummet används genom att reflektera över och visa på ”Vad har vi lärt oss idag?” Vi bygger nästa lektion på vad man har observerat på tidigare lektion. Våra identifierade missuppfattningar som eleverna visat lyfts på nästa lektion.

·      

        I en formativ bedömningsprocess finns tre viktiga frågor att beakta: Vart ska vi/eleven?    I gruppen uttrycks att summativ bedömning upplevs som viktig för självförtroendet. Att se framstegen i jämförelser ger självtillit. Eleverna växer i att veta målet utifrån nuläget.

     Var är vi/eleven nu? Det görs genom att lyfta deras tidigare erövrade kunskaper och förmågor, men också göra eleverna delaktiga i vad målet är.

     Hur tar vi oss dit? Eleverna ges stöd och uppmuntran till hur de kan nå målet, men också en förväntan på att de utvecklar ansvar och självförtroende genom att få inflytande till hur de kan nå målet.

Planering av nästa lektionsuppgift med intervju

·      Åk 1-3: Uppgift med att fortsätta en aritmetisk talföljd: 2, 4, 6, 8  __, __, __ och uppgift med geometrisk talföljd: 1, 2, 4, __, _­­_, __ och att förklara dem. Fortsätta en mer öppen talföljd 1, 4 __, __, __.  

     Vi tror att det kritiska för eleverna i åk 1-3 är att uttrycka en talföljd och att förklara öppen talföljd. Vår strategi är att uppmärksamma eleverna på aritmetiska och geometriska talföljder samt varierad differens innan, t.ex. Fibonaccis.

·       Åk 5-6: Hur fortsätter mönstret med plattorna? Förklara varför!                               Det som vi tror kan vara svårt nästa lektion är begrepp och att uttrycka en generalisering. Förhoppningsvis utvecklas detta genom att låta dem försöka på egen hand, diskutera i smågrupper och i helgrupp.

Enskild reflektion och gemensam sammanfattning av dagen

·      Utifrån dagens mål uttrycktes det som lärorikt att lyssna på andra. Vi ser många likheter, men också skillnader. Genom att ta del av och referera till teori och lyssna till varandras praktiska erfarenheter ser vi progressionen. Filmen om generalisering var tydlig och bra. 

Val av del till nästa gång – Kommunikation i algebra-klassrummet

·      Sammanställning av några intervjuer utifrån uppgifterna tas med till nästa gång samt att ha läst texten i del 7, Kommunikation i algebra-klassrummet.

·      För att utveckla läsförståelsen inom matematik delgav några lärare "Läsfixarna i matte" som kopierades ut till alla paralleller, för att lamineras och sättas upp i klassrummen. 

Bedömning i matematikklassrummet

Hodgens och Wiliams fem nyckelstrategier, som jag tidigare skrivit om, beskrivs mycket bra i Matematiklyftets modul i Algebra del 3. Dessa nyckelstrategier i formativ bedömning, som gäller i alla ämnen, har blivit en ledstjärna för mig.

De tre frågorna i den formativa bedömningsprocessen: "Vart ska vi/eleven?" "Var är vi/eleven nu?" "Hur tar vi oss dit?" vävs in i de fem nyckelstrategierna. Här ges också konkreta exempel på hur jag kan gå tillväga. 

1. Klargör och delge mål och kriterier. "Vart ska vi?" 

Här är det viktigt att jag konkretiserar och visar på skillnader i kvalitet genom olika exempel/elevarbeten. Om eleverna görs delaktiga i diskussioner om exemplen ökar elevernas medvetenhet för vad som krävs för ett framgångsrikt lärande.

2. Skapa effektiva klassrumsdiskussioner och andra lärandesituationer som ger belägg för elevernas kunnande. "Var är vi nu? 

I detta nuläge behöver jag kartlägga var eleverna befinner sig i förhållande till målet. Det ställer krav på att jag ger eleverna möjligheter att visa sina kunskaper. Frågor som kan ställas ska:

• vara färre men genomtänkta och öppna. 
• möjliggöra olika elevsvar 
• bestå av utvecklande följdfrågor som formuleras i förväg

När jag använder öppna frågor ges eleverna möjlighet att göra längre inlägg samt lyssna till och jämföra olika resonemang. Jag behöver synliggöra kritiska aspekter i innehållet. Denna informella bedömning ger mig information som är viktig för planering av nästa steg. Beroende på hur jag vill att det ska dokumenteras väljer jag metod. 

Små whiteboardtavlor ger mig bra information om jag har tänkt till vad det är jag vill veta. 

Ett annat bra sätt är att visa ett konkret exempel där eleverna ska ta ställning till fyra alternativ och argumentera för sin uppfattning, t.ex. 

Vilket eller vilka av följande uttryck är inte en likhet?

A. 8 - 5 = 5 - 2

B. 30 - 10 = 0 + 20

C. 20 + 7 = 27 - 1

D. 8 = 10 - 2

3. Ge eleverna effektiv återkoppling som för dem framåt i lärandet. "Hur tar vi oss dit?"

Vad menas då med effektiv återkoppling? Den behöver förstås och kunna användas av eleven och den ska ha fokus på som är nästa steg/mål. Ett annat kriterium är att den ska utmana elevernas tänkande då de behöver vara aktiva och ta ansvar för sitt lärande. 

Ett exempel på en god återkoppling är att uppmana eleven att själv hitta exempelvis de tre uppgifterna som är fel, utan att markera dem och försöka klura ut de rätta svaren. 

Hattie och Timperley gör skillnad mellan feedback, feed-up och feed forward. Feedback är bedömning av vad eleverna gjort eller visat. Feed-up står i relation till aktuella kunskapskrav/mål. Feed forward är framåtsyftande och fokuserar på hur eleven ska arbeta vidare. 

4. Aktivera eleverna som resurs för varandra. 

Denna punkt hänger ihop med punkt 2, där det gäller att jag som lärare skapar ett klimat där eleverna är delaktiga. 

Ett sätt är att eleverna får välja ut några uppgifter ur läroboken och motivera varför en uppgift är lätt respektive svår. Eftersom eleverna säkerligen upplever olika svårighetsgrad i uppgifterna, är det en god idé att de i grupper får presentera och argumentera sina val. 

Då kan jag som lärare sedan ställa frågan: Tänk efter i gruppen: Vad har ni för frågor? Skriv ned frågorna! Eleverna tar hjälp av varandra och ingen elev behöver då visa sin okunskap inför klassen.

5. Gör eleverna aktiva som ägare av sitt eget lärande. 

Det framhävs att självreflektion och självbedömningar företrädesvis görs under arbetsprocessen istället för i slutet på processen. Då ges eleverna möjlighet att reflektera över vad de känner sig osäkra på och vilket stöd som behövs.             

Ett exempel är att i början av ett valt innehåll låta eleverna beskriva ett centralt begrepp inom innehållet som de sedan arbetar med. Eleverna gör samma sak efter avslutat arbete och de ges även tid för reflektion över förändringen i sitt eget kunnande.

Vetenskapligt förhållningssätt - vad innebär det?

Ett vetenskapligt förhållningssätt innebär att inta en hållning där jag ställer mig frågan: Vad finns det för belägg utifrån vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet? 

Förskolans och skolans arbete ska, enligt skollagens femte paragraf, vila på "vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet". Vad innebär då dessa begrepp? Enligt Skolverket innebär "vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet" att undervisningen är forskningsbaserad - det ska finnas stöd i forskningen för de metoder skolan använder och de kunskaper som skolan lär ut. 

Begreppet "vetenskaplig grund"  innebär att systematiskt utforska, ifrågasätta och problematisera. Att använda nya forskningsrön och kritiskt granska, pröva och sätta enskilda faktakunskaper i ett sammanhang och att de metoder man använder grundas på tillförlitlig kunskap. Kunskap kan vara dels empirisk, då man samlar information systematiskt dels kan kunskap vara teoretiskt grundad. Det som också utmärker vetenskaplig kunskap är att den bygger på tidigare kunnande inom området, är kritiskt granskad utifrån etiska principer och att den finns tillgänglig för alla. 

Beprövad erfarenhet är något mer än lärarens ”tysta” kunskap. Enligt Skolverkets definition på "beprövad erfarenhet" innebär det att lärare stödjer sig på erfarenheter som är systematiskt prövade, dokumenterade och skapade av många under en längre tidsperiod. Det räcker alltså inte med en metod som du och/eller ditt arbetslag tycker fungerar, för att den ska ses som en beprövad erfarenhet. Enligt Skolverket krävs en större spridning än i egna kommunen. Professor Tomas Kroksmark menar att det räcker med att den beprövade erfarenheten är spridd inom en skola. Jag är benägen att hålla med Kroksmarks resonemang om att det viktigaste är att man har varit systematisk och dokumenterat och intagit ett kritiskt förhållningssätt, som liknar vetenskapens kärna att systematiskt ifrågasätta och problematisera i processen. I denna kritiska process är den didaktiska triangeln med de didaktiska frågorna grundläggande, dels i kommunikation med eleverna, dels i kommunikation med mig själv och mina kollegor: 

VAD, VARFÖR och HUR? 
Vad är det inom detta innehåll som eleverna kan ha missuppfattningar i? 
Vilka kritiska aspekter i innehållet behöver jag uppmärksamma eleverna på? 
Varför väljer jag detta innehåll och hur ska jag uppmärksamma de kritiska aspekterna? Hur? Varför organiserar jag på det sätt som jag gör? 
Vilka belägg har jag för att mitt sätt att undervisa leder till att elevers lärande är framgångsrikt och gör skillnad? 

På nedanstående länk kan du se filmer och läsa mer om dessa begrepp: http://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/forskningsbaserat-arbetssatt

Fem grundläggande principer för lärande

Dylan Wiliam, aktuell i Lärartidningen, har tillsammans med Jeremy Hodgen skrivit ett lättläst och mycket bra häfte: "Mathematics inside the black box - Assessment for learning in the mathematics classroom". Häftet bör finnas ute på skolorna, då det för några år sedan delades ut till alla matematikutvecklare. Det ger gott stöd för lärare i formativ bedömning inom alla ämnen. 

Hodgen och Wiliam menar att tre typer av feedback är nödvändig för formativ bedömning. Den första är från elev till lärare, den andra från lärare till elev och den tredje är från elev till elev. Fem principer är grunden:

1. Första principen för lärande är att börja där eleven befinner sig och låta dem koppla nya kunskaper till sina tidigare. Läraren lyssnar till svaren och hjälper dem genom att lyfta diskussionen till en högre nivå.
2. Eleverna själva måste vara aktiva i processen. Lärandet måste göras av dem. 
3. Eleverna ges tillfällen att samtala om sina uppfattningar i matematik, så att de bygger upp de matematiska begreppen. 
4. Eleverna måste förstå syftet med det som ska läras. Läraren måste tydligt förklara det centrala innehållet och kunskapskraven, så eleverna får möjlighet att avgöra kvaliteten på sitt arbete. Kamrat-och självbedömning är nödvändig i denna process.
5. Feedback ska visa elever hur man kan förbättra sig. Sådan feedback uppmuntrar elever att prestera bättre genom att göra flera försök och att lära av sina fel och misstag.

Med anledning av att Diamantdiagnoserna är genomförda och ska analyseras är det av största vikt vad man gör av nulägesresultatet. Forskningen visar på betydelsen av hur lärare tänker kring sin undervisning och tanken med Diamant är att man ska använda det formativt. I ett Learning Study perspektiv kan nulägesresultaten jämföras med ett förtest i en Learning Study. Utifrån analysen av nulägesresultatet planeras insatser i undervisningen, såväl på gruppnivå som individnivå, för att nå målet till våren. Vikten av att tydliggöra syfte och mål och engagera eleverna i hur målen kan uppnås är samstämmigt i forskarvärlden. Nalle Puh är klok som uttrycker:

Vad är målet/målen?

Hur ska undervisningen planeras och organiseras så att elevers förmågor utvecklas?     

Vad är det i innehållet, som eleverna har svårt med?                                                   

Hur uppmärksammar jag eleverna det på bästa sätt?                                                      

Vilka strategier har eleverna? Är de hållbara och kan generaliseras?

Hur engagerar jag eleverna, så att de blir ägare i sitt lärande?     

Insatserna utvärderas kontinuerligt och granskas kritiskt för att revideras, så att största möjliga utfall sker. Detta kan jämföras med Learning Study där lektion efter lektion kritiskt granskas och revideras, för att uppnå optimal koppling mellan undervisning - lärande. För visst ska vi arbeta enligt skollagen, som uttrycker att "undervisningen ska baseras på vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet"?