Learning Study lektion 2 angående subtraktionsstrategier

Utifrån våra reflektioner över lektion 1 och påföljande analys behövs längre tid än 40 minuter för lektionen. Många elever har gjort rejäla framsteg, men innehållsmässigt utkristalliseras än tydligare vad som är svårt för eleverna. Då är det dessa aspekter av ämnesinnehållet vi ska uppmärksamma än mer.

En annan slutsats vi har dragit är att föredra övningar på papper, då det tog mycket tid och det var svårt att få plats med alla redovisningar på whiteboardtavlorna. Dessutom har papper fördelen att dokumentationen finns kvar och kan användas formativt i en återkoppling.

Ytterligare omprioritering är fler övningsuppgifter som ger eleverna större möjligheter att praktisera och förhoppningsvis befästa de olika strategierna.

Fokus är talens egenskaper och relationer där eleverna bör ställa sig frågan:       

- Vilken strategi är lämplig att använda här? 

Lektionsupplägget är enligt följande:

• Inledning med en tallinje på Smartboard när vi diskuterar strategier kring nedanstående subtraktionsuppgifter: 

10-4

17-9

16-2, 16-12 (skillnad i strategi, första backar man två steg)

31-29, 71-69 (termer nära varandra på tallinjen)

Tiotal och ental: 28-15, 68-54

Hitta det största talet är det som är riktigt kritiskt då de vänder och läser från fel håll.
__ - 15 = 3,     3 = ___-15,

        Vi påvisar taltriangeln för att visa på sambanden mellan räknesätten. 

• Enskilt arbete och arbete i par med nedanstående uppgifter: Eleverna arbetar enskilt med uppgifter som uppmärksammar de aspekter som varit i fokus på den gemensamma genomgången. I par jämförs och diskuteras deras svar för att de slutligen ska enas om en gemensam lösning. De ska använda triangeln.

57-43

51-49

18 = ___-29

8 = ___-21

26 = ____ - 14

•  Gemensam redovisning och reflektera över strategier, rimlighet och                          sambanden mellan addition och subtraktion.

Learning Study lektion 1 vad gäller strategier i subtraktion

En av oss har genomfört lektion 1, som vi planerat tillsammans utifrån gemensam analys av förtestet. Det ringade verkligen in vad eleverna har svårigheter i. Normalt sett brukar man videofilma varandra, men det tar mycket tid, så det blir allt vanligare att man nöjer sig med observation där man antecknar istället. 

Det som är kännetecknande för en Learning Study är just ovanstående men också att vi har gemensamt ansvar för planeringen av lektionerna. Ingen ska känna sig ensam och utsatt. Tillsammans kan vi så mycket mer - de gemensamma erfarenheterna, analyserna och diskussionerna vi har ger så mycket!

Fokus, utifrån analys av det eleverna visar svårigheter i, är alltså valet av innehåll. Detta är också typiskt för en Learning Study.

Lärandeobjektet innebär: Förmåga att välja strategi i subtraktion utifrån relationen mellan termerna.

Moment 1:

Tallinje på Smartboard som vi använder oss av när vi i helklass diskuterar strategier kring nedanstående subtraktionsuppgifter.

10-4

17-9

16-2, 16-12

31-29, 71-69

Tiotal och ental: 28-15, 68-54

Hitta det största talet är det som är riktigt kritiskt då de vänder och läser från fel håll.

__ - 15 = 3,     3 = ___-15,        

Vi påvisar triangeln för att visa på sambanden mellan räknesätten.   

                                                                 40

                                                                    -                       -

                                                           

                                                           26                +                14

Moment 2: Arbete enskilt och i par.På tavlan skrivs nedanstående uppgifter. På miniwhiteboards arbetar elever först enskilt sedan i par där de diskuterar och jämför sina svar. Uppdraget är att komma fram till en gemensam lösning. De ska använda triangeln, för att inse sambanden mellan addition och subtraktion. 57-4351-4918 = ___-298 = ___-21          26 = ____ - 14

Moment 3: Gemensam redovisning och reflektera över strategier, rimlighet och sambanden mellan addition och subtraktion.

Jag återkommer om vad vi lärt oss av lektion 1 och de revideringar vi kommit fram till inför lektion 2.

Learning Study i subtraktionsstrategier utifrån termernas relation till varandra

Ett vanligt fel som elever gör är vid subtraktion, när termerna ligger nära varandra på tallinjen, t.ex. 51-49 eller 31-29. Ofta får man svaret 18! Hur tänker de då? 

Jo, de läser omväxlande från höger till vänster på entalen och från vänster till höger på tiotalen. 

Detta mycket allvarliga fel behöver uppmärksammas tidigt, då det ofta har visat sig och fortfarande visar sig på Nationella prov, PISA och TIMSS-studier. 

Därför är vi tre lärare på Ulrikaskolan som nu planerar en Learning Study som uppmärksammar att strategier inom subtraktion bör anpassas utifrån termernas relation till varandra.   

Lärandeobjektet innebär: Förmåga att välja strategi i subtraktion utifrån relationen mellan termerna.

Kritiska aspekter:

Att uppmärksamma talens relationer och utifrån det välja strategi

Att hålla alla stegen i minnet

Att ha koll på talens position (ental, tiotal) 

Att alltid läsa från vänster till höger vid huvudräkning (uppifrån och ner på algoritmer)

Att förstå sambanden mellan addition och subtraktion, kontrollräkna /rimlighet 

Varians:
- Placering av likhetstecknet utifrån helhet och delar?
- Termer som ligger nära respektive långt ifrån varandra på tallinjen

- Beräkningsstrategier

- Kontrollräkna genom addition eller genom att titta på tallinjen
                                                    
Konstans:
- Räknesättet subtraktion

- Två termer

- Steg för steg

Är den variation respektive konstans som vi skrivit ovan relevanta med det vi ser i resultaten på förtestet? 

Det får jag återkomma om, då vi analyserat resultatet på förtestet.

         

Sokratiskt samtal med felen som utgångspunkt för lärande

En inspirerande och lärorik utbildningsdag med Simon Hjort och Ambjörn Furenhed gav många reflektioner. Bland annat var det fokus på förhållningssätt. Därför vill jag med detta inlägg koppla teori med ett exempel från min praktik. 

Hjort och Furenhed refererade till Dweck som menar att man kan inta ett statiskt respektive dynamiskt förhållningssätt. Ett statiskt innebär ett förhållningssätt "Jag är den jag är", ett dynamiskt innebär "Jag kan utvecklas". 

Vilket förhållningssätt signalerar jag? Tilltro? Märks det att jag vill att eleverna ska lyckas? Hur visar jag att jag hela tiden vill utvecklas? Berömmer jag ansträngning?  

Sanningen är förmodligen i att jag har båda. Kopplar jag det till min kunskapssyn, så är det ett dynamiskt förhållningssätt, för jag menar alla kan bli matematiker. 

Utifrån test och uppgifter styr man in eleverna i ett förhållningssätt, enligt Hjort och Furenhed. Om jag visar tilltro till eleverna med ambition att skapa meningsfullhet och vilja till ansträngning, hoppas jag signalera ett dynamiskt förhållningssätt. 

Efter uthålligt arbete ha fått igång en elevs motivation till ansträngning och lärande och återkopplat vad det resulterar i, blir jag varm i hjärtat av elevens stolthet och glädje över att ha lyckats på ett prov. Eleven visade ytterligare ett framsteg i att vilja lära sig mer, då hen ville lära sig på de fel som gjorts på provet! Samtalet nedan fördes med eleven om en uppgift i att hantera hälften och dubbelt i högre talområden.

Jag frågade om hen visste vad hälften av 24 var.

– Nej, sa hen.

Då frågade jag om hen visste vad 6+6 var.

– Det är 12, svarade hen. 

Vidare frågade jag vad hälften av 12 var, varpå hen blixtsnabbt svarade: -6!

Om vi nu dubblar 12, vad är det då?

 

- 24, svarade hen!

- Då vet du ju vad hälften av 24 är också! 

- Det är 12!

- Då kan du använda den kunskapen i hälften av 240, då du kan tänka bort nollan och sedan lägga på den igen. 

- 112 bli det då, svarade hen.

- Kan du skriva det istället? Vad är hälften av 24? Hen skriver 12.

- Vad är hälften av 240 då? Hen skriver 120.

 

– Etthundra tjugo blir det!

Förhoppningsvis har mitt budskap gått fram: "Var nöjd om du har gjort ditt bästa, dela med dig av det du vet, fråga om det du inte kan och ta felen som starten till lärande".

Avslutningsvis passar Sokrates visa ord: ”Jag kan inte lära någon någonting. Jag kan bara få dem att tänka, vilket är mycket mer värt än att förmedla min egen vision.” 

”Utbildning är att tända en låga, inte att fylla ett kärl.” Sokrates år 477 f. Kr.

Nya perspektiv på formativ bedömning

Torulf Palm, som ingår i en forskningsgrupp vid Umeå universitet höll föreläsningen "Vad är formativ bedömning på ett framgångsrikt sätt?" på Matematikbiennalen. Den gav mig nya perspektiv på formativ bedömning. Han menade att alla bedömer formativt men det är kvaliteten som är avgörande. 

Han inledde med citaten: 

"Det känns bra nu. Jag fortsätter att utvecklas hela tiden. Jag känner mig bättre än någonsin " (Zlatan i TV 2012-12-22)

"Jag har så otroligt mycket att förbättra. Jag kan bli bättre på allt." (Emil Jönsson efter att ha vunnit 6 av 8 världscuptävlingar 2010-2011) 

Vad ville han säga med detta? Jo, att det är ett förhållningssätt som gäller såväl lärare som elever. Att vi hela livet vill lära och utvecklas, för det har betydelse för lärandet. 

Formativ bedömning är inte per automatik, enligt Torulf:

• Insamlande av info som diagnoser  

• Lärarkommentarer 

• Dokumentation 

• Bedömningar av elevers prestationer som synliggörs i matris 

• Det flippade klassrummet

Det avgörande är vad och hur vi gör med det. Olika typer av feedback ger olika effekter, så hur vi ger feedback är avgörande - inte att vi gör det. I en klassrumspraktik där man identifierar elevers lärandebehov och där undervisningen anpassas och formas efter lärandebehoven är en effektiv formativ bedömning.  

Hans huvudpoänger var:

• Effektiv undervisning baseras på elevernas förståelse, inte på rutinmässiga lektioner
• Behov av information om alla elevers kunnande och förståelse, utan att det tar för lång tid
• Informationen tas som grund för nästa steg i undervisningen med fokus på lärandet 
• Som lärare bör jag ställa mig frågorna: 

     - Vad är viktigt i undervisningsinnehållet?

     - Vilka kritiska missuppfattningar finns inom området? 

     - Hur ställer jag bra frågor?

• En viktig aspekt är att konstruera bra uppgifter. Eleverna kan företrädesvis svara på miniwhiteboards, exit notes eller boarding cards. 
• Att alla ska behöva tänka görs genom slumpmässigt urval av elever. I vår klass använder vi namnlappar som dras, vilket eleverna påminner mig om ibland då jag glömmer. På det sättet sker en demokratisk maktdelning och man undviker att vissa elever tar stort tal utrymme medan andra "stänger av". Det ökar alla elevers intresse och uppmärksamhet, samtidigt som jag signalerar att allas tankar är viktiga. 

Ett tillåtande klassrumsklimat med en lärandesyn som jag sympatiserar med kan deklareras så här:

• Det vi inte vet frågar vi om.

• Det vi kan berättar vi om.

• Ett fel är inte slutet - det är en början!

Förskoleklassen - en ö eller bro mellan förskola och skola?

Frågan ställdes av Helena Ackesjö i hennes avhandling som jag tog del av på Matematikbiennalen i Karlstad. Övergångar var, för övrigt, något som lyftes på flera seminarier. Övergångar utgör ofta ett hinder i elevers lärande - att de helt enkelt tappar fart i sin utveckling, vilket är förödande ur många aspekter. Varför är det så? Vad beror det på?

 

Arbetar vi slentrianmässigt - istället för att utgångspunkten borde vara den didaktiska triangeln? Elev - Innehåll - Lärare utgör hörnen på den didaktiska triangeln med kärnfrågorna: Vad, Varför och Hur. Det borde vara ledstjärnan! 

Jag menar att vi måste vara intresserade av var eleven står och visa respekt för deras tidigare kunskaper och erfarenheter. Något som släcker elevers lust, motivation och tilltro till sin förmåga är att tugga om saker som man redan kan. Viss repetition behövs givetvis, men det är utmaningar som håller uppe glöden! Enligt Simon Hjort ges elever i Finland utmaningar i högre omfattning. 

Beror det på bristande intresse och respekt för varandras yrkesprofession i stadieövergångarna? 

Behövs en påminnelse om uppdraget - att vi är satta att optimera elevers lärande? 

Kanske det skulle vara på sin plats med inläsning av Skolverkets stödmaterial "Övergångar"  i kombination med möten mellan lärare från olika stadier i kommunen? http://www.skolverket.se/skolutveckling/miljo-och-halsa/elevhalsan/stodmaterial-om-overgangar-1.228043

Ackersjö påtalade konsekvensen av att förskoleklassens och fritidshemmets uppdrag förtydligas i läroplanen. "Förskoleklassen ska stimulera elevers utveckling och lärande och förbereda dem för fortsatt utbildning". Detta medför att förskollärarna behöver ha kunskap om centralt innehåll och kunskapskrav för årskurs 1-3. En utmaning är också kontinuiteten. Det har visat sig att elever får göra vissa moment tre gånger.   

Ackersjös forskningsfrågor vid undersökningen av förskoleklassen var: 

• VAD uppmärksammar f-klasslärare beträffande elevers matematikutveckling?
• NÄR blir elevers matematikutveckling synlig för f-klasslärare?
• NÄR blir elever i risk att hamna i matematiksvårigheter synliga för f-klasslärare?
• HUR och VARFÖR blir elevers matematikutveckling synlig för f-klasslärare att följa och synliggöra?

Resultatet som hon kom fram till var att resultatet blir mycket bättre om:

• Vi är medvetna om VAD vi gör, VARFÖR vi gör det vi gör samt VAD det leder till.

"Med kunskap och bedömning förstår jag vad jag kan förmedla, lära och förhålla mig till barnen. Även förstår jag vad jag behöver lära mer av, få mer kunskap om."

Det känns bra att vi i kommunen gör Diamantdiagnosen AF i förskoleklasserna höst och vår, då den bygger på de flesta av Gelman och Gallistel´s grundläggande principer, som poängterades på flera seminarier på Matematikbiennalen:

• Ett-till-ett-principen (Förståelse för att jämföra antal genom parbildning)
• Abstraktionsprincipen (Räkna föremål i en avgränsad mängd oavsett slag av föremål)
• Principen om godtycklig ordning (Medvetenhet om att oavsett varifrån man räknar är det samma antal i en mängd)
• Principen om den stabila ordningen (Räkneorden måste räknas i en viss ordning)
• Antals- eller Kardinalprincipen (Sista räkneordet står för antalet)

Utöver dessa fem principer är följande aspekter mycket viktiga:

• Antalskonstans (Förståelse för att oavsett om föremålen är utspridda eller tätt samlade är det samma antal)
• Subitizing (Medfödd förmåga hos både spädbarn och djur att i en blink uppfatta antal. Har barnet svårt för detta är det en varningssignal och extra insatser krävs) 
• Bilder med liten och stor siffra, t.ex. liten 7:a och stor 5:a där frågan är Vilket tal är störst/mest värd?

Även Bishop´s områden påtalades:

• Räkna
• Lokalisera
• Leka
• Mäta
• Designa/Konstruera
• Förklara

Det är alltså ett mycket viktigt arbete som genomförs i förskoleklassen. Där utmanas förhoppningsvis elever utifrån sin nivå! Om dessutom elever, som riskerar att hamna i matematiksvårigheter, identifieras och får extra stöd tidigt är det otroligt värdefullt. 

Ju tidigare vi sätter in insatser desto bättre är det, för med stigande ålder tär det mer på elevens tilltro till sin egen förmåga. 

Språkets betydelse i matematiken

Per har 8 öre mer än Arne, och Arne har 23 öre mer än Georg. Sven, som har 50 öre, har 5 öre mer än Georg. Hur mycket har Per? (Standardprov för årskurs 2, 1944)

Hur många elever i årskurs 2 klarar att lösa ovanstående uppgift idag? (Pröva gärna!)

På en av Matematikbiennalens föreläsningar ”Språkets betydelse i matematiken” blev jag påmind om det mycket lärorika häftet ”Mer än matematik – om språkliga dimensioner i matematik”, som jag dammat av och återupplivat. Häftet som är några år på nacken, utarbetat av Nationellt centrum för svenska som andraspråk i samarbete mellan PRIM-gruppen vid Stockholms universitet, är högst aktuellt även idag.

 

Matematiska svårigheter kan ha sin förklaring i bristande läs-och språkförståelse.

Det råder ett särskilt starkt samband med ordförståelsen, visar forskning. Faktatexter kräver större läsförståelse än läsning av skönlitterära texter. Vi måste alltså arbeta med läsförståelsestrategier på matematiklektionerna, då textuppgifter i matematik är en slags faktatext. Matematikens språk är:

• Fåordigt, exakt och specifikt
• Inget överskott på information. Informationen nämns oftast bara vid ett tillfälle
• Kräver såväl god ordavkodning som god läs- och ordförståelse

Ord med vardaglig respektive matematisk betydelse

Hur arbetar vi med att bygga upp elevernas medvetenhet över skillnader mellan vardagsord och matematiska ord? Ord i matematiskt språk respektive vardaglig betydelse kan vara t.ex. rymmer – flyr, skillnad – olikhet, volym - ljudvolym, hårvolym.                                                                                       

Vartenda ord är viktigt för den matematiska förståelsen. Ord som knappt, drygt och resten kan vara svåra. Vilket av följande exempel var svårast för elever, tror du?

På ett fat finns åtta frukter. Två av dem är bananer. Av resten är hälften päron. Hur många är päron?

Per är 12 år. Han är hälften så gammal som Erik. Hur gammal är Erik?

Ord, begrepp och uttryck som är viktiga att använda på rätt sätt och i rätt sammanhang

Ta exempelvis, ordet parallellogram som representerar alla figurer där motstående sidor är parallella. Det innebär att en rektangel är en slags parallellogram. En parallellogram kan alltså inte definieras som ”en lutande rektangel”. Ordet rektangel representerar också alla figurer där alla motstående sidor är parallella samt alla hörn är räta. Det innebär att en kvadrat är en slags rektangel med den särskilda egenskapen att alla sidor är lika långa. Dessa ord blir otroligt viktiga att använda på rätt sätt, eftersom de har en mycket specifik definition.

Om man däremot någon gång säger ”fyra gånger tre” istället för ”fyra multiplicerat med tre” så påverkar det inte innebörden av uttrycket. Visst tycker jag det är viktigt att använda även dessa ord, men relativt sett inte riktigt lika viktigt som ovanstående exempel med parallellogram.

Vidare så handlar det matematiska språket också om hur vi använder språket i matematiken för att underlätta förståelsen. Ett exempel är hur vi uttrycker decimaltal. För visst är det skillnad på om vi uttrycker talet 0,23 som ”två tiondelar och tre hundradelar” istället för ”noll komma tjugotre”. Att beskriva talen utifrån positionssystemet ger eleverna en annan förståelse för talen.

Vad vi behöver tänka på när vi konstruerar matematikuppgifter

• Försäkra dig om att eleverna förstår nyligen introducerade matematiska begrepp.

• Försäkra dig om att eleverna förstår att vissa vanliga ord får en annan betydelse när de används i en matematisk kontext.

• Var försiktig med allt för komplicerade meningsbyggnader och passivkonstruktioner

• Kom ihåg att partikelverb kan vara svåra för andraspråkstalare

• Var försiktig med ovanliga ord och uttryck samt tvetydiga ord.

• Bygg hellre ut texten än att förkorta den.

• Se till att layouten underlättar förståelsen.

• Tänk efter om referensramarna i uppgiften förstås av alla elever.

• Ge gärna uppgifter som kan lösas på olika sätt – då får eleverna möjlighet att formulera och redogöra för varandra.

Vad vi behöver tänka på i klassrummet

• Försäkra dig om att eleverna förstår all information i uppgiften innan de ger sig i kast med själva lösningen.

• Ge eleverna många tillfällen till att reflektera, såväl muntligt som skriftligt, kring olika möjliga lösningar till matematiska problem.

• Använd frågeställningar som kan skapa kommunikation kring matematiken.

• Att först arbeta enskilt, för att främja tilltro till den egna förmågan och sedan jämföra i par och i smågrupper skapar möjligheter till språkande. (EPA-modellen: Enskilt - Par - Alla)

Källor: 

http://www.skolverket.se/om-skolverket/publikationer/visa-enskild-publikation?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FBlob%2Fpdf1891.pdf%3Fk%3D1891

http://pedagog.malmo.se/2015/10/02/sprakets-betydelse-i-matematiken/