Resultat från Learning Study angående subtraktionsstrategier

Det som utkristalliserats under studien är att lektion 3 gav bäst resultat, även om alla lektioner visar på bra resultat. För varje lektion blev resultatet bättre, vilket tyder på att vi för varje gång lyckats utveckla lektionerna. Varför lektion 3 är mest framgångsrik kan man reflektera över och diskutera. 

En faktor som kan ha inverkan är att eleverna är ett år äldre än de övriga. En annan förklaring kan vara att skillnaden i innehåll och fokus mellan lektion 1 och 2 var mindre än mellan lektion 2 och 3. Lektion 3 förfinades, innehållet fokuserades mer på det eleverna hade störst missuppfattningar/svårigheter i. 

På lektion 3 uppmärksammades eleverna på olika kvaliteter genom avidentifierade elevexempel i genomgången, de fick också praktisera genom fler uttrycksformer, för att stärka lärandet. Dels fick eleverna fler uppgifter med kritiskt innehåll att lösa enskilt, dessutom skulle de på varje uppgift kontrollräkna och skriva de tre inbördes värdena i trianglar. På ett medvetet sätt uppmärksammades eleverna på sambanden mellan addition och subtraktion och att stärka elevernas tilltro till sin förmåga: Kan du addition så kan du subtraktion! 

I ytterligare nytt inslag fick eleverna göra egna liknande exempel, för att ge till parkompis och sedan diskutera och jämföra sina arbeten innan vi avslutade lektionen där de fick sätta ord på vad man bör se upp med och vad man lärt sig. 

	Förtestresultat Max 24 p Medelvärde	Förtestresultat i %	Eftertestresultat Max 24 p Medelvärde	Eftertestresultat i %
Lektion 1:24 elever åk 2	17,6	73 %	19,7	86 %
Lektion 2:26 elever åk 2	17,4	67 %	21	88%
Lektion 3:25 elever åk 3	19,6	82 %	23,6	98 %

Resultat på uppgiftsnivå

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Uppgift	10-2	10-9	10-4	15-6	18-9	13-9	17-2	19-17	87-85	18-6	16-8	57-43	21-19	51-49	101-99	68-8	97-5	44-6	11= 14 - _	_ = 16-5	3= _- 15	18=_ -29	_=36-6	8=_-21
1. Förtest i %	100	100	100	100	96	88	96	96	83	79	83	42	71	63	71	79	79	75	79	83	13	0	67	17
Efter lek.1 i %	100	100	100	96	100	91	100	91	83	91	91	48	91	83	96	91	87	83	65	91	35	35	78	52
2.Förtest i %	96	100	100	92	96	92	100	77	77	85	88	46	77	54	69	77	85	81	73	88	8	0	77	0
Efter lek. 2 i %	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	96	96	92	88	85	100	100	100	88	96	54	46	88	54
3.Förtest i %	100	96	100	96	96	88	96	88	96	84	88	76	92	92	92	92	96	88	88	96	16	4	92	4
Efter lek. 3 i %	100	100	100	100	100	96	100	100	100	100	92	96	100	100	100	96	100	100	84	100	100	100	100	96
Förtest 75 elever i %	99	99	100	96	96	89	97	87	85	83	87	55	80	69	77	83	87	81	81	89	12	1	79	7
Eftertest 74 elever i %	100	99	100	99	100	96	100	97	95	97	93	81	95	91	93	96	96	95	80	96	64	61	89	68

  oUnder 40 %      o 41-70%  o 71-80%    o 81-99%   o 100%

Vi tre lärare som genomfört studien tycker det skulle vara intressant att ovanstående uppgifter (på näst översta raden) genomfördes även i andra årskurser. Vilka uppgifter skulle visa sig vara kritiska för eleverna där? Skulle det vara samma uppgifter som identifierades? I vilken omfattning? Hur har man som lärare noterat och vad har man gjort för att uppmärksamma eleverna på de kritiska aspekterna?  

Vi menar att det är oerhört viktigt att inte konservera felaktiga uppfattningar. Detta styrks av många forskare som exempelvis MacIntosh och Kilborn. Bentley har påvisat att vissa av dessa uppgifter är vanliga och allvarliga fel på TIMSS och PISA då det är på högre stadier. 

Även i Göteborg på årets AMBLE symposium med internationella forskare framhölls vikten av att bryta ovanor/tankefel så tidigt som möjligt. I och för sig sunt förnuft - för ju fler gånger du gör fel - desto svårare att rätta till dem och lära om. Lärares ansvar är stort, det är vi som ska se till att identifiera elevernas missuppfattningar och lyfta dem i undervisningen innan de befästs och blir riktigt allvarliga. 

Därför följs elevernas utveckling och lärande upp i en lektion 4 till hösten vad gäller de uppgifter som visar gula och orangefärgade resultat. 

Learning study lektion 3 angående subtraktionsstrategier

Utifrån analys av lektion 2 kommer fokus bli på uppgifter som tar upp termer nära varandra och i öppna utsagor där det gäller att hitta det största talet. Därför är innehållet något annorlunda. 

Andra aspekter som är annorlunda mot tidigare är att i genomgången ha avidentifierade elevexempel, att de i genomgången och på övningsblad får fler uppgifter med termer som är nära varandra vid en tiotalsövergång samt fler öppna utsagor där det gäller att hitta det största talet. På övningsblad ska de även kontrollera genom addition och använda "triangeln". 

Ytterligare ny aspekt är att de ska göra egna liknande uppgifter och byta med parkompisen. Detta är ett bra sätt för att få reda på om de har förstått.

Introduktion med lektionsmål:-          
- Att utveckla strategier i subtraktion genom att titta på talens egenskaper och relation till varandra.
- Att reflektera över svarens rimlighet och kontrollera, genom förmåga att visa på sambanden mellan räknesätten addition och subtraktion.
- Att göra två liknande uppgifter själv.

Genomgång: 
Jag visar två elevexempel, där eleverna jämför likheter och skillnader. Vad är bra och vad kan utvecklas? Jag uppmärksammar dem på talens relationer på tallinjer från ncm.gu.se och ställer frågan:-          Vilken strategi är lämplig att använda här?
31-29, 71-69

I nästa steg uppmärksammas eleverna på likhet och skillnad i 58-3, 58-33, där mönster och generalisering gäller, men också skillnaden att hålla koll på tiotalen. 

Hitta det största talet är det som är riktigt kritiskt då de vänder och läser från fel håll.__ - 15 = 3,     3 = ___-15,  Här repeteras triangeln för att påvisa sambanden mellan räknesätten.

Enskilt arbete/ i par: På papper arbetar eleverna enskilt. 
1.     101 - 99=2.      51 - 49=
3.      Gör en egen liknande uppgift:
4.      67 - 5=
5.      67 - 25=
6.      17 = ____- 29
7.      8 = ____- 31
8.      26 = ____- 14
9.      3 = _____- 14
10.   Gör egen öppen utsaga där den största termen saknas!

Parvis argumentation/reflektion

I par gäller det att sätta ord på hur de tänkt och där de diskuterar och jämför sina svar. De förväntas svara, kontrollera med addition och genom att använda triangeln.

Gemensam reflektion/diskussionRedovisning och reflektion över strategier, rimlighet och sambanden mellan addition och subtraktion. 

Jag ¨återkommer med resultatet av elevernas utveckling och våra reflektioner från våra lektioner. 

Learning Study lektion 2 angående subtraktionsstrategier

Utifrån våra reflektioner över lektion 1 och påföljande analys behövs längre tid än 40 minuter för lektionen. Många elever har gjort rejäla framsteg, men innehållsmässigt utkristalliseras än tydligare vad som är svårt för eleverna. Då är det dessa aspekter av ämnesinnehållet vi ska uppmärksamma än mer.

En annan slutsats vi har dragit är att föredra övningar på papper, då det tog mycket tid och det var svårt att få plats med alla redovisningar på whiteboardtavlorna. Dessutom har papper fördelen att dokumentationen finns kvar och kan användas formativt i en återkoppling.

Ytterligare omprioritering är fler övningsuppgifter som ger eleverna större möjligheter att praktisera och förhoppningsvis befästa de olika strategierna.

Fokus är talens egenskaper och relationer där eleverna bör ställa sig frågan:       

- Vilken strategi är lämplig att använda här? 

Lektionsupplägget är enligt följande:

• Inledning med en tallinje på Smartboard när vi diskuterar strategier kring nedanstående subtraktionsuppgifter: 

10-4

17-9

16-2, 16-12 (skillnad i strategi, första backar man två steg)

31-29, 71-69 (termer nära varandra på tallinjen)

Tiotal och ental: 28-15, 68-54

Hitta det största talet är det som är riktigt kritiskt då de vänder och läser från fel håll.
__ - 15 = 3,     3 = ___-15,

        Vi påvisar taltriangeln för att visa på sambanden mellan räknesätten. 

• Enskilt arbete och arbete i par med nedanstående uppgifter: Eleverna arbetar enskilt med uppgifter som uppmärksammar de aspekter som varit i fokus på den gemensamma genomgången. I par jämförs och diskuteras deras svar för att de slutligen ska enas om en gemensam lösning. De ska använda triangeln.

57-43

51-49

18 = ___-29

8 = ___-21

26 = ____ - 14

•  Gemensam redovisning och reflektera över strategier, rimlighet och                          sambanden mellan addition och subtraktion.

Learning Study lektion 1 vad gäller strategier i subtraktion

En av oss har genomfört lektion 1, som vi planerat tillsammans utifrån gemensam analys av förtestet. Det ringade verkligen in vad eleverna har svårigheter i. Normalt sett brukar man videofilma varandra, men det tar mycket tid, så det blir allt vanligare att man nöjer sig med observation där man antecknar istället. 

Det som är kännetecknande för en Learning Study är just ovanstående men också att vi har gemensamt ansvar för planeringen av lektionerna. Ingen ska känna sig ensam och utsatt. Tillsammans kan vi så mycket mer - de gemensamma erfarenheterna, analyserna och diskussionerna vi har ger så mycket!

Fokus, utifrån analys av det eleverna visar svårigheter i, är alltså valet av innehåll. Detta är också typiskt för en Learning Study.

Lärandeobjektet innebär: Förmåga att välja strategi i subtraktion utifrån relationen mellan termerna.

Moment 1:

Tallinje på Smartboard som vi använder oss av när vi i helklass diskuterar strategier kring nedanstående subtraktionsuppgifter.

10-4

17-9

16-2, 16-12

31-29, 71-69

Tiotal och ental: 28-15, 68-54

Hitta det största talet är det som är riktigt kritiskt då de vänder och läser från fel håll.

__ - 15 = 3,     3 = ___-15,        

Vi påvisar triangeln för att visa på sambanden mellan räknesätten.   

                                                                 40

                                                                    -                       -

                                                           

                                                           26                +                14

Moment 2: Arbete enskilt och i par.På tavlan skrivs nedanstående uppgifter. På miniwhiteboards arbetar elever först enskilt sedan i par där de diskuterar och jämför sina svar. Uppdraget är att komma fram till en gemensam lösning. De ska använda triangeln, för att inse sambanden mellan addition och subtraktion. 57-4351-4918 = ___-298 = ___-21          26 = ____ - 14

Moment 3: Gemensam redovisning och reflektera över strategier, rimlighet och sambanden mellan addition och subtraktion.

Jag återkommer om vad vi lärt oss av lektion 1 och de revideringar vi kommit fram till inför lektion 2.

Learning Study i subtraktionsstrategier utifrån termernas relation till varandra

Ett vanligt fel som elever gör är vid subtraktion, när termerna ligger nära varandra på tallinjen, t.ex. 51-49 eller 31-29. Ofta får man svaret 18! Hur tänker de då? 

Jo, de läser omväxlande från höger till vänster på entalen och från vänster till höger på tiotalen. 

Detta mycket allvarliga fel behöver uppmärksammas tidigt, då det ofta har visat sig och fortfarande visar sig på Nationella prov, PISA och TIMSS-studier. 

Därför är vi tre lärare på Ulrikaskolan som nu planerar en Learning Study som uppmärksammar att strategier inom subtraktion bör anpassas utifrån termernas relation till varandra.   

Lärandeobjektet innebär: Förmåga att välja strategi i subtraktion utifrån relationen mellan termerna.

Kritiska aspekter:

Att uppmärksamma talens relationer och utifrån det välja strategi

Att hålla alla stegen i minnet

Att ha koll på talens position (ental, tiotal) 

Att alltid läsa från vänster till höger vid huvudräkning (uppifrån och ner på algoritmer)

Att förstå sambanden mellan addition och subtraktion, kontrollräkna /rimlighet 

Varians:
- Placering av likhetstecknet utifrån helhet och delar?
- Termer som ligger nära respektive långt ifrån varandra på tallinjen

- Beräkningsstrategier

- Kontrollräkna genom addition eller genom att titta på tallinjen
                                                    
Konstans:
- Räknesättet subtraktion

- Två termer

- Steg för steg

Är den variation respektive konstans som vi skrivit ovan relevanta med det vi ser i resultaten på förtestet? 

Det får jag återkomma om, då vi analyserat resultatet på förtestet.

         

Sokratiskt samtal med felen som utgångspunkt för lärande

En inspirerande och lärorik utbildningsdag med Simon Hjort och Ambjörn Furenhed gav många reflektioner. Bland annat var det fokus på förhållningssätt. Därför vill jag med detta inlägg koppla teori med ett exempel från min praktik. 

Hjort och Furenhed refererade till Dweck som menar att man kan inta ett statiskt respektive dynamiskt förhållningssätt. Ett statiskt innebär ett förhållningssätt "Jag är den jag är", ett dynamiskt innebär "Jag kan utvecklas". 

Vilket förhållningssätt signalerar jag? Tilltro? Märks det att jag vill att eleverna ska lyckas? Hur visar jag att jag hela tiden vill utvecklas? Berömmer jag ansträngning?  

Sanningen är förmodligen i att jag har båda. Kopplar jag det till min kunskapssyn, så är det ett dynamiskt förhållningssätt, för jag menar alla kan bli matematiker. 

Utifrån test och uppgifter styr man in eleverna i ett förhållningssätt, enligt Hjort och Furenhed. Om jag visar tilltro till eleverna med ambition att skapa meningsfullhet och vilja till ansträngning, hoppas jag signalera ett dynamiskt förhållningssätt. 

Efter uthålligt arbete ha fått igång en elevs motivation till ansträngning och lärande och återkopplat vad det resulterar i, blir jag varm i hjärtat av elevens stolthet och glädje över att ha lyckats på ett prov. Eleven visade ytterligare ett framsteg i att vilja lära sig mer, då hen ville lära sig på de fel som gjorts på provet! Samtalet nedan fördes med eleven om en uppgift i att hantera hälften och dubbelt i högre talområden.

Jag frågade om hen visste vad hälften av 24 var.

– Nej, sa hen.

Då frågade jag om hen visste vad 6+6 var.

– Det är 12, svarade hen. 

Vidare frågade jag vad hälften av 12 var, varpå hen blixtsnabbt svarade: -6!

Om vi nu dubblar 12, vad är det då?

 

- 24, svarade hen!

- Då vet du ju vad hälften av 24 är också! 

- Det är 12!

- Då kan du använda den kunskapen i hälften av 240, då du kan tänka bort nollan och sedan lägga på den igen. 

- 112 bli det då, svarade hen.

- Kan du skriva det istället? Vad är hälften av 24? Hen skriver 12.

- Vad är hälften av 240 då? Hen skriver 120.

 

– Etthundra tjugo blir det!

Förhoppningsvis har mitt budskap gått fram: "Var nöjd om du har gjort ditt bästa, dela med dig av det du vet, fråga om det du inte kan och ta felen som starten till lärande".

Avslutningsvis passar Sokrates visa ord: ”Jag kan inte lära någon någonting. Jag kan bara få dem att tänka, vilket är mycket mer värt än att förmedla min egen vision.” 

”Utbildning är att tända en låga, inte att fylla ett kärl.” Sokrates år 477 f. Kr.

Nya perspektiv på formativ bedömning

Torulf Palm, som ingår i en forskningsgrupp vid Umeå universitet höll föreläsningen "Vad är formativ bedömning på ett framgångsrikt sätt?" på Matematikbiennalen. Den gav mig nya perspektiv på formativ bedömning. Han menade att alla bedömer formativt men det är kvaliteten som är avgörande. 

Han inledde med citaten: 

"Det känns bra nu. Jag fortsätter att utvecklas hela tiden. Jag känner mig bättre än någonsin " (Zlatan i TV 2012-12-22)

"Jag har så otroligt mycket att förbättra. Jag kan bli bättre på allt." (Emil Jönsson efter att ha vunnit 6 av 8 världscuptävlingar 2010-2011) 

Vad ville han säga med detta? Jo, att det är ett förhållningssätt som gäller såväl lärare som elever. Att vi hela livet vill lära och utvecklas, för det har betydelse för lärandet. 

Formativ bedömning är inte per automatik, enligt Torulf:

• Insamlande av info som diagnoser  

• Lärarkommentarer 

• Dokumentation 

• Bedömningar av elevers prestationer som synliggörs i matris 

• Det flippade klassrummet

Det avgörande är vad och hur vi gör med det. Olika typer av feedback ger olika effekter, så hur vi ger feedback är avgörande - inte att vi gör det. I en klassrumspraktik där man identifierar elevers lärandebehov och där undervisningen anpassas och formas efter lärandebehoven är en effektiv formativ bedömning.  

Hans huvudpoänger var:

• Effektiv undervisning baseras på elevernas förståelse, inte på rutinmässiga lektioner
• Behov av information om alla elevers kunnande och förståelse, utan att det tar för lång tid
• Informationen tas som grund för nästa steg i undervisningen med fokus på lärandet 
• Som lärare bör jag ställa mig frågorna: 

     - Vad är viktigt i undervisningsinnehållet?

     - Vilka kritiska missuppfattningar finns inom området? 

     - Hur ställer jag bra frågor?

• En viktig aspekt är att konstruera bra uppgifter. Eleverna kan företrädesvis svara på miniwhiteboards, exit notes eller boarding cards. 
• Att alla ska behöva tänka görs genom slumpmässigt urval av elever. I vår klass använder vi namnlappar som dras, vilket eleverna påminner mig om ibland då jag glömmer. På det sättet sker en demokratisk maktdelning och man undviker att vissa elever tar stort tal utrymme medan andra "stänger av". Det ökar alla elevers intresse och uppmärksamhet, samtidigt som jag signalerar att allas tankar är viktiga. 

Ett tillåtande klassrumsklimat med en lärandesyn som jag sympatiserar med kan deklareras så här:

• Det vi inte vet frågar vi om.

• Det vi kan berättar vi om.

• Ett fel är inte slutet - det är en början!